三角函数综合问题🔴🔴🔴

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=|\sin x|+|\cos x|+a\sin x\cos x,\mathrm{其}\mathrm{中}a\mathrm{为}\mathrm{实}\mathrm{数}$
$(1)\mathrm{若}f(x)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{值}$
$(2)\mathrm{求}f(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}$
$(3)\mathrm{若}a=2\sqrt{2}，\mathrm{求}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}(0,2026\pi )\mathrm{内}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}$