三角函数与零点

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\sin (\omega x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})-\cos \omega x(\omega >0)\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{的}\mathrm{两}\mathrm{条}\mathrm{相}\mathrm{邻}$
$\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{键}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{为}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
$(1)\mathrm{求}f(x)\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{析}\mathrm{式}$
$(2)\mathrm{先}\mathrm{将}f(x)\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{上}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{横}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{扩}\mathrm{大}\mathrm{为}\mathrm{原}\mathrm{来}\mathrm{的}2\mathrm{倍}(\mathrm{纵}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{不}\mathrm{变})，$
$\mathrm{再}\mathrm{将}\mathrm{所}\mathrm{得}\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{向}\mathrm{左}\mathrm{平}\mathrm{移}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{长}\mathrm{度}，\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{函}\mathrm{数}g(x)\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{若}\mathrm{关}\mathrm{于}x\mathrm{的}$
$\mathrm{方}\mathrm{程}g(x)=m\mathrm{在}[{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}]\mathrm{上}\mathrm{恰}\mathrm{有}3\mathrm{个}\mathrm{根}{x}_1,x_2,x_3(x_1<x_2<x_3),$
$\mathrm{求}\mathrm{实}\mathrm{数}m\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}\mathrm{和}{x}_1+2x_2+x_3\mathrm{的}\mathrm{值}$