三角函数+图象变换+性质+恒成立🔴🔴🔴

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\sin (\omega x+{\displaystyle \frac{\pi }{3}})(\omega >0)\mathrm{在}({\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{3}})\mathrm{上}\mathrm{有}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}，\mathrm{无}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}，\mathrm{且}f({\displaystyle \frac{\pi }{6}})=f({\displaystyle \frac{\pi }{3}})$
$(1)\mathrm{求}f(x)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{正}\mathrm{周}\mathrm{期}$
$(2),\mathrm{将}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{移}\phi (0<\phi <{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{长}\mathrm{度}\mathrm{后}\mathrm{等}\mathrm{到}$
$g(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{象}，\mathrm{且}\mathrm{对}\mathrm{满}\mathrm{足}|f(x_1)-g(x_2)|=2\mathrm{的}{x}_1,x_2\mathrm{有}|x_1-x_2{|}_{min}={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$
$(\mathrm{ⅰ})\mathrm{求}\phi \mathrm{的}\mathrm{值}$
$(\mathrm{ⅱ})\mathrm{若}\mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{的}{x}_1,x_2\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{7}},{\displaystyle \frac{\pi }{7}}],\mathrm{都}\mathrm{有}f(x_1)<g(x_2)+m\mathrm{成}\mathrm{立}$
$\mathrm{求}\mathrm{实}\mathrm{数}m\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$