集合的一个问题

题目

已知集合 $S = {1, 2, 3, 4, \dots, 2026}, M$ 是集合 $S$ 的非空子集，记 $Q_{M}$ 为集合 $M$ 中的最大值与最小值的和，当集合中只有一个元素时，最大值与最小值即为该元素，求所有 $Q_{M}$ 的算术平均数

解析

规律方式：
$S = {1, 2}, M$ 可能为 ${1}, {2}, {1, 2}$ ,结果为3
$S = {1, 2, 3}, M$ 可能为 ${1}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}$ ,结果为4
$\dots$ ,
猜想结果为2027

证明

设 $M = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}}, a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k}$ 此时我们一定可以找到一个对应集合
$N = {2027 - a_{k}, 2027 - a_{k - 1}, \dots, 2027 - a_{1}}$
也就是 $M, N$ 是成对出现的，利用此关系可得
$Q_{M} = a_{1} + a_{k},$ 与 $Q_{N} = 4054 - (a_{1} + a_{k})$ 成对出现
所以结果为2027