类比思想

题目

我们知道循环小数 $0. \dot{9} = 1$ 的推导方式是这样的
令 $s = 0. \dot{9}, 10 s = 9 + 0. \dot{9} = 9 + s \Rightarrow 9 s = 9 \Rightarrow s = 1$
利用该种方式求 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots$ 的值

解析

令 $s = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots$
则 $3 s = 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots$
$∴ 3 s = 3 + s \Rightarrow s = \frac{3}{2}$