指对函数探索问题一例

题目

已知函数 $f (x) = \lg (a^{x} - k \cdot b^{x}) (k > 0, a > 1 > b > 0)$ 定义域恰好为 $(0, + \infty) .$
是否存在这样的 $a, b$ ,使得 $f (x)$ 恰在 $(1, + \infty)$ 上取正值，且 $f (3) = \lg 4.$ 若存在，
求出 $a, b$ 的值，若不存在，请说明理由

解析

由题得 $a^{x} - k \cdot b^{x} > 0$ 的解集为 $(0, + \infty),$ 且不存在 $x \leq 0$ ， $a^{x} - k \cdot b^{x} > 0$ 成立
$a^{x} - k \cdot b^{x} > 0 \Rightarrow (\frac{a}{b})^{x} > k \Rightarrow x > \log_{\frac{a}{b}} k$
$∴ \log_{\frac{a}{b}} k = 0, k = 1$
$∵ a > 1 > b > 0, ∴ f (x)$ 为增函数
$f (1) = 0 \Rightarrow a - b = 1$
$f (3) = \lg 4 \Rightarrow a^{3} - b^{3} = 4$
解得 $a = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$