不同角度感觉不一样

从特殊开始
$x=1\Rightarrow \cos \theta >0,x=0\Rightarrow \sin \theta >0$
$\therefore 2k\pi <\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi ,k\in Z$
下面考虑$x\in (0,1)$
$x^2\cos \theta +(1-x{)}^2\sin \theta \ge 2x(1-x)\sqrt{\sin \theta \cos \theta }$
$x^2\cos \theta -x(1-x)+(1-x{)}^2\sin \theta \ge (2\sqrt{\sin \theta \cos \theta }-1)x(1-x)$
所以$x^2\cos \theta -x(1-x)+(1-x{)}^2\sin \theta >0$恒成立
只需要$(2\sqrt{\sin \theta \cos \theta }-1)x(1-x)>0$
即$2\sqrt{\sin \theta \cos \theta }-1>0\Rightarrow \sin \theta \cos \theta >{\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow \sin 2\theta >{\displaystyle \frac{1}{2}}$
所以$\theta$满足$\{\begin{array}{l}\sin \theta >0\\ \cos \theta >0\\ \sin 2\theta >0\end{array}$
$2k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{12}}<\theta <{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}+2k\pi ,k\in Z$

$x^2\cos \theta -x(1-x)+(1-x{)}^2\sin \theta >0$
${\displaystyle \frac{x}{1-x}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{1-x}{x}}\sin \theta -1>0$
基本不等式角度考虑

$({\displaystyle \frac{x}{1-x}}{)}^2\cos \theta -{\displaystyle \frac{x}{1-x}}+\sin \theta >0$
$t={\displaystyle \frac{x}{1-x}}$
$t^2\cos \theta -t+\sin \theta >0$
可以考虑判别式