三角函数反证法

题目

证明：对任意的实数 $x, y,$ 都有 $\cos x^{2} + \cos y^{2} - \cos x y < 3$

解析

$\cos x^{2} \leq 1, \cos y^{2} \leq 1, - \cos x y \leq 1$
所以要证明 $\cos x^{2} + \cos y^{2} - \cos x y < 3$
只需证明 $\cos x^{2} \leq 1, \cos y^{2} \leq 1, - \cos x y \leq 1$ 的三个等号不同时成立
若 $\cos x^{2} = 1, \cos y^{2} = 1, - \cos x y = 1$
则 $x^{2} = 2 m π, y^{2} = 2 n π, x y = (2 k + 1) π, m, n, k \in Z$
即 $2 m π \cdot 2 n π = (2 k + 1)^{2} π^{2}$
$4 m n = (2 k + 1)^{2}$
但是左边时奇数，右边为偶数，所以上面等式不可能成立