一个求值域的问题

把$y={\displaystyle \frac{\sin x+3}{\cos x+2}}$看作方程
整理可得$y(\cos x+2)=\sin x+3\Rightarrow \sin x-y\cos x=2y-3$
根据辅助角公式
$\sqrt{1+y^2}\sin (x+\phi )=2y-3$
$\sin (x+\phi )={\displaystyle \frac{2y-3}{\sqrt{1+y^2}}}$
根据三角函数的有界性
$|{\displaystyle \frac{2y-3}{\sqrt{1+y^2}}}|\le 1\Rightarrow ({\displaystyle \frac{2y-3}{\sqrt{1+y^2}}}{)}^2\le 1$
解得$y\in [2-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}},2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}]$

万能公式
$\sin x={\displaystyle \frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}},\cos x={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}}$
$y={\displaystyle \frac{\sin x+3}{\cos x+2}}={\displaystyle \frac{2\tan \frac{x}{2}+3+3{\tan }^2\frac{x}{2}}{3+{\tan }^2\frac{x}{2}}}$
令$t=\tan \frac{x}{2},$可得$y={\displaystyle \frac{3t^2+2t+3}{t^2+3}}\Rightarrow y(t^2+3)=3t^2+2t+3$
判别式法
$(y-3)t^2-2t+(3y-3)=0$
$\mathrm{\Delta }=4-4(y-3)(3y-3)\ge 0$
解得$y\in [2-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}},2+{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}]$

利用几何意义看作单位圆上一点与点$(-2,-3)$连线的斜率
以后补上