抽象函数20260210

令$x=y=0\Rightarrow f(0)=0$或$f(0)=1$
当$f(0)=0$时，令$y=0$可得$f(x)=0$,此时满足题意

当$f(0)=1$时，令$x=0$得$f(y)+f(-y)=2f(y)\Rightarrow f(-y)=f(y),f(x)$为偶函数
令$y=T$可得$f(x+T)+f(x-T)=2f(x)f(T)=0$
把$x$用$x+T$代换后$f(x+2T)=-f(x)$
$f(x+4T)=-f(x+2T)=f(x)$
$\therefore 4T$是$f(x)$的一个周期

令$y=x$,得$f(2x)+1=2f^2(x)$
$\therefore f(2T-2x)+1=2f^2(T-x)$
$\because f(2T+x)=-f(x),\therefore f(2T-2x)=-f(-2x)=-f(2x)=1-f^2(x)$
$\therefore f^2(x)+f^2(T-x)=1$
$\therefore 1-f^2(x)=f^{(}T-x)\ge 0$
$\therefore -1\le f(x)\le 1$