202602121

三角形公式与函数最值

设 $β \in (0, \frac{π}{2}), \sin α = 3 \sin (α + 2 β)$ ,则 $\tan (α + 2 β)$ 最小值为________

解析

先研究角度关系
确定基本量 $β, α + β$
$α = (α + β) - β, α + 2 β = (α + β) + β$
$\sin α = 3 \sin (α + 2 β) \Rightarrow \sin (α + β - β) = 3 \sin (α + β + β)$
$- 4 c o s (α + β) \sin β = 2 \sin (α + β) \cos β$
$\tan (α + β) = - 2 \tan β$
$\tan (α + 2 β) = \frac{\tan (α + β) + \tan β}{1 - \tan (α + β) \tan β} = \frac{- \tan β}{1 + 2 \tan^{2} β}$
$= - \frac{1}{2 \tan β + \frac{1}{\tan β}}, (\tan β > 0)$
$2 \tan β + \frac{1}{\tan β} \geq 2 \sqrt{2}$
$\frac{1}{2 \tan β + \frac{1}{\tan β}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}}$
$- \frac{1}{2 \tan β + \frac{1}{\tan β}} \geq - \frac{\sqrt{2}}{4}$
当且仅当 $\tan β = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，等号成立