4.补集

说明

在研究问题时我们通常需要一个确定的范围，例如 $x^{2} + 1 = 0$ 在实数范围内是无解的，
但是在高中我们会把数扩充到复数范围，这是方程 $x^{2} + 1 = 0$ 就会存在解
再看两个集合 ${x \in N | x < 3}, {x \in Z | x < 3}$ 这两个集合是不相同的

全集

上面问题说明，根据我们研究范围的变化，被研究对象会变得不一样。
我们把问题中设计到的对象的全体称作全集
通常用大写字母 $U$ 表示

补集

我们把属于全集 $U$ ,但不属于 $A$ 的元素构成的集合叫做 $A$ 的补集
记作： $∁_{U} A = {x | x \in U, x \notin A}$
Venn图(全集一般用长方形表示)

这里有一个前提就是 $A \subseteq U$

思考

(1) $∁_{U} A = \emptyset$ 是什么情况
(2)用Venn图表示 $∁_{U} (A \cup B)$
(3)如果全集 $U = A \cup B$ 你会想到什么？

例题1

(1)已知 $U = {x \in N | x < 7}, A = {1, 2, 3, 4},$ 求 $∁_{U} A$
(2)已知 $A = {x | x < 1}, B = {x | x > 2}$ 求 $∁_{R} A, ∁_{R} (A \cup B), (∁_{R} A) \cup B$

解析（1）

${0, 5, 6}$

(2)

$∁_{R} A = {x | x \geq 1}$
$∁_{R} (A \cup B) = {x | 1 \leq x \leq 2}$
$(∁_{R} A) \cup B = {x | x \geq 1}$

例题2

已知 $U = {x \in Z | 1 \leq x \leq 8}, A \cup B = {1, 2, 4, 6, 8}, A \cap ∁_{U} B = {2, 4},$ 求集合 $B, ∁_{U} A \cap ∁_{U} B$

解析

利用Venn图
$B = {1, 6, 8}$
$∁_{U} A \cap ∁_{U} B = {3, 5, 7}$

例题3

已知 $U = {x | x > 2}, A = {x | 4 < x < 5}, A \cap ∁_{U} B = \emptyset$ 举例说明集合 $B$ 的几种可能

总结与反思

1、知识方面：
2、方法方面：（1）思考问题的方式（2）解决问题的方法
3、存在疑惑：