3.集合的运算（交集和并集）

观察思考

类比数的加减乘除运算我们来看集合的运算关系
$(1) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}$
$(2) A = {x | x$ 是长方形 $}, B = {x | x$ 是菱形 $}$

交集

对于 $(1)$ 两个集合中存在这共同的元素 $2, 3, 4$ 可以构成一个新的集合 ${2, 3, 4}$
对于两个集合 $A, B$ ，我们把属于 $A$ 且属于 $B$ 的元素构成的集合叫做 $A, B$ 的交集
记作： $A \cap B = {x | x \in A,$ 且 $x \in B}$
读作： $A$ 交 $B$
如图：

思考：

$(2) A = {x | x$ 是长方形 $}, B = {x | x$ 是菱形 $}, A \cap B = ?$

例题1

求下列集合的交集
(1) $A = {x | x < 3}, B = {x | x > 0}$
(2) $A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8}$

提示

(1) $A \cap B = {x | 0 < x < 3}$
(2) $A \cap B = \emptyset$

思考：

(1)若 $A \cap B = A$ 你能用Venn图画出 $A, B$ 的关系吗?
(2)若 $A \cap B = \emptyset$ 用Venn图怎们表示？

类比交集的定义---观察下面集合的关系

(1) $A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4}$
(2) $A = {x | x | x$ 是高一6班的女生 $}, B = {x | x$ 是高一6班的男生 $}, C = {x |$ 是高一6班的学生 $}$

可以看到

$A, B$ 两个集合的元素共同组成了新的集合 $C$

并集的定义

我们把由属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的集合叫做集合 $A, B$ 的并集
记作： $A \cup B = {x | x \in A,$ 或 $x \in B}$
读作: $A$ 并 $B$
如图

思考：

(1) $A \cup B = B$ 说明了什么的关系，请用Venn图说明
(2) $A \cup B = \emptyset$ 说明了什么？

例题2

求下列集合的并集
(1) $A = {x | x = 2 n, n \in Z}, B = {x | x = 2 n + 1, n \in Z}$
(2) $A = {x | x < 1}, B = {x | x > 0}$

提示

(1) $A \cup B = Z$
(2) $A \cup B = R$

例题3

(1) $A = {x | x$ 是直角三角形 $} B = {x | x$ 是等腰三角形 $}$ ,求 $A \cup B, A \cap B$
(2) $A = {x | m - 1 < x < 2 m + 1}, B = {x | - 1 < x < 2},$ 若 $A \cup B = B$ 求实数 $a$ 的取值范围

解析（1）

$A \cup B = {x | x$ 是直角三角形或等腰三角形 $}, A \cap B = {x | X$ 是等腰直角三角形 $}$

解析（2）

$A \cup B = B$ 即 $A \subseteq B$
分类讨论
(1) $A = \emptyset \Rightarrow m - 1 \geq 2 m + 1 \Rightarrow m \leq - 2$ 成立
(2) $A \neq \emptyset \Rightarrow {\begin{cases} m - 1 < 2 m + 1 \\ m - 1 \geq - 1 \\ 2 m + 1 \leq 2 \end{cases}$ 解的 $- 2 < m \leq \frac{1}{2}$
综上所述， $m \leq \frac{1}{2}$

总结与反思

1、知识方面：
2、方法方面：（1）思考问题的方式（2）解决问题的方法
3、存在疑惑：