2.集合间的关系

1.(结合数的大小关系)观察下面集合发现其中关系

$(1) A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5}$
$(2) A = {x | x < 1}, B = {x | x < 2}$

发现

对于(1)集合 $A$ 中的元素都在集合 $B$ 中
对于(2)集合 $A$ 中的元素都在集合 $B$ 中

2.子集的定义

对于两个集合 $A, B$ 如果集合 $A$ 中的任意元素都在集合 $B$ 中，称集合 $A$ 为集合 $B$ 的子集
记作： $A \subseteq B$ 或( $B \supseteq A$ )，读作 $A$ 包含于 $B$ ( $B$ 包含 $A$ )
可以用如下的（Venn图）来表示

特例

$A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ,则 $A = B$

3.真子集

如果 $A \subseteq B$ ，若在集合 $B$ 中存在 $x \in B, x \notin A$ ,称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集
记作： $A ⫋ B$ 或（ $B ⫌ A$ ）读作：真包含于（真包含）
$A \subseteq B \Rightarrow {\begin{cases} A ⫋ B \\ A = B \end{cases}$

思考下面的关系并用（Venn图）说明

(1) $A \subseteq A$
(2) $A \subseteq B, B \subseteq C,$ 则 $A \subseteq C$

4.空集

如果一个集合中没有任何元素，称这个集合为空集
记作： $\emptyset$
规定：空集为任意集合的子集， $\emptyset \subseteq A$

空集示例

${x | x^{2} + 1 = 0}$
${x | 4 < x < 3}$

例题1

写出集合 ${a, b}$ 的所有子集

提示

$\emptyset, {a}, {b}, {a, b}$

例题2

判断下面集合关系并说明理由
$(1) A = {1, 2, 4}, B = {x | x$ 是8的约数 $}$
$(2) A = {x | x < 1}, B = {x | x < 2}$
$(3) A = {2, 3}, B = {x | x^{2} - 4 = 0}$

提示

(3) $A$ 不是 $B$ 的子集， $B$ 也不是 $A$ 的子集

拓展

分别写出下列集合的子集，研究子集个数是否存在某种规律？
$(1) {a, b}$
$(2) {a, b, c}$
$(3) {a, b, c, d}$

例题3

已知集合 $A = {x | 0 < x < a}, B = {x | - 1 < x < 2}, A \subseteq B$ ,求实数 $a$ 的取值范围

解析

分类讨论
(1) $A = \emptyset$ 时 $a \leq 0$ 成立
(2) $A \neq \emptyset$ 时， ${\begin{cases} a > 0 \\ a \leq 2 \end{cases} \Rightarrow 0 < a \leq 2$
综上 $a \leq 2$

总结与反思

1、知识方面：
2、方法方面：（1）思考问题的方式（2）解决问题的方法
3、存在疑惑：