7.数量积的运算律和运算性质

目标

1.理解数量积的几何意义，并能用几何意义解决具体问题
2.应用数量积定义解决具体问题---求模和夹角
3.能准确推导数量积的运算律

运算性质(超有用)

$已知两个非零向量 \vec{a}, \vec{b} 和单位向量 \vec{e}, 且 \vec{a}, \vec{b} 的夹角为 θ, \vec{e} 与 \vec{b} 同向$
$(1) \vec{a} \cdot \vec{e} = \vec{e} \cdot \vec{a} = | \vec{a} | \cos θ$
$(2) \vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$(3) \vec{a} \cdot \vec{a} = {\vec{a}}^{2} = | \vec{a} |^{2}$
$(4) | \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$

其实都是比较特殊的结论，但是有时特殊化本身就是概念的价值体现

运算律

$(1) \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
$(2) (λ \vec{a}) \cdot \vec{b} = λ (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (λ \vec{b})$
$(3) (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

分配律证明

$设 \vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$
$图形化向量的常用写法$

计算

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{O C} \cdot \vec{O D^{'}} = | \vec{O C} | | \vec{O D^{'}} |$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{O C} \cdot \vec{O A^{'}} = | \vec{O C} | | \vec{O A^{'}} |$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{O C} \cdot \vec{O B^{'}} = | \vec{O C} | | \vec{O B^{'}} |$

发现关系

$| \vec{O A^{'}} | = | \vec{B^{'} D^{'}} |$
$\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = | \vec{O C} | | \vec{O A^{'}} | + | \vec{O C} | | \vec{O B^{'}} |$
$= | \vec{O C} | | \vec{B^{'} D^{'}} | + | \vec{O C} | | \vec{O B^{'}} |$
$= | \vec{O C} | (| \vec{B^{'} D^{'}} | + | \vec{O B^{'}} |)$
$= | \vec{O C} | | \vec{O D^{'}} | = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$

补充

$当 \vec{a} ， \vec{b} 与 \vec{c} 的夹角一个为钝角，一个为锐角 (或两个都是钝角时)$
$如何, 证明过程会有什么变化 ?$

完全平方公式和平方差公式成立吗？

$(\vec{a} + \vec{b})^{2} = {\vec{a}}^{2} + + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$
$(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$
$成立的依据是什么？$

对比

$| \vec{a} + \vec{b} |^{2} 和 (| \vec{a} | + | \vec{b} |)^{2} 的展开式是什么？$

思考

$(1) (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{c}) 能否成立？$
$(2) | \vec{a} + \vec{b} | | \vec{a} - \vec{b} | = | {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2} | 是否成立$

题目1

$已知 | \vec{a} | = 6, | \vec{b} | = 4, \vec{a} 与 \vec{b} 的夹角为 60^{\circ}, 求 (\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b})$

题目2

$已知 | \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 4, \vec{a} 与 \vec{b} 不共线, 当 k 为何值时， (\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$

题目3

$已知 | \vec{a} | = 6, | \vec{b} | = 4, \vec{a} 与 \vec{b} 的夹角为 60^{\circ},$
$(1) 求 | \vec{a} + 2 \vec{b} | 和 | \vec{a} - 3 \vec{b} |$
$(2) 求 \vec{a} + 2 \vec{b} 与 \vec{a} - 3 \vec{b} 的夹角余弦值$

1、知识方面：
2、方法方面： ${\begin{cases} 思考问题的方式 \\ 解决问题的方法 \end{cases}$
3、存在疑惑：

思考

$若 (\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b}), 能得到什么结论？$