6.数量积

目标

1.理解向量夹角的概念
2.通过物理功的概念熟悉向量的数量积的定义和结果特征
3.理解投影向量的几何意义

物理中的功

$W = | \vec{f} | | \vec{s} | \cos θ$

向量的夹角

$对于两个向量 \vec{a}, \vec{b}$
$在平面上取一点 O ，过 O 作 \vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, ∠ A O B 称作$
$向量 \vec{a}, \vec{b} 的夹角, 记作 < \vec{a}, \vec{b} >$
$夹角 θ 的取值范围是 [0, π]$
$θ = 0, \vec{a}, \vec{b} 同向$
$θ = π, \vec{a}, \vec{b} 反向$
$θ = \frac{π}{2}, \vec{a} ⊥ \vec{b}$

数量积的定义

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos θ, θ 为 \vec{a}, \vec{b} 的夹角$
$书写的时候中间的点不能省略$
$1. \vec{a} ⊥ \vec{b} 时, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$2. \vec{a}, \vec{b} 同向时, \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} |$
$3. \vec{a}, \vec{b} 反向时, \vec{a} \cdot \vec{b} = - | \vec{a} | | \vec{b} |$

说明

$数量积的值与两个向量的大小及夹角相关$

题目1

$已知 | \vec{a} | = 5, | \vec{b} | = 4, \vec{a} 与 \vec{b} 的夹角 θ = \frac{2 π}{3}, 求 \vec{a} \cdot \vec{b}$

题目2

$已知 | \vec{a} | = 12, | \vec{b} | = 9, \vec{a} \cdot \vec{b} = - 54 \sqrt{2}, 求 \vec{a} 与 \vec{b} 的夹角 θ$

投影向量

$对于 (1) (2) (4) 向量 \vec{O P} 称作 \vec{b} 在 \vec{a} 上的$ $投影向量$
$对于 (2) \vec{b} 在 \vec{a} 上的$ $投影向量$ $为 \vec{0}$

投影向量如何表示

$长度由 \vec{b} 和 < \vec{a}, \vec{b} > 决定, 方向由 \vec{a} 决定$

Help

$对于图 (2) | \vec{O P} | = | \vec{b} | \cos θ$
$对于 \vec{O P} 的方向，我们取一个与 \vec{a} 同向的单位向量 \vec{e}$
$于是 \vec{O P} = | \vec{b} | \cos θ \vec{e}$
$对于图 (4) \cos θ < 0 上面关系是依然成立$

求投影向量的步骤

$(1) 取与 \vec{a} 同向的单位向量 \vec{e}$
$(2) 求投影向量的模 | \vec{b} | \cos θ$
$写出结果$

提示：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{O P} (\vec{a} 与 \vec{O P} 共线)$

题目3

$已知 | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, < \vec{a}, \vec{b} >= 120^{\circ}, \vec{a} 在 \vec{b} 方向上的投影向量$

解析

$(1) \vec{b} 同向的单位向量为 \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |} = \frac{1}{2} \vec{b}$
$(2) 投影向量的长度为 | \vec{a} | \cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}$
$所以 \vec{a} 在 \vec{b} 方向上的投影向量为 - \frac{1}{4} \vec{b}$

反思本节课的收获

1、知识方面：
2、方法方面： ${\begin{cases} 思考问题的方式 \\ 解决问题的方法 \end{cases}$
3、存在疑惑：

探索

$已知 O 为 △ A B C 的外心 (外接圆圆心), 2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}, | \vec{O A} | = | \vec{A B} |$
$求 \vec{B A} 在 \vec{B C} 方向上的投影$