5.向量的共线定理

目标

1.共线是向量的重要内容之一，理解向量共线的定理
2.从特殊推导向量共线的一般规律
3.应用共线解决具体的几何问题

向量的共线定理

$\vec{a} (\vec{a} \neq \vec{0}) 与 \vec{b} 共线的充要条件是：存在唯一的实数 λ, 使得 \vec{b} = λ \vec{a}$

思考

$(1) 为什么要加 \vec{a} \neq \vec{0})$
$(2) 这句话对吗？$
$存在唯一的实数对 λ, μ 使得 λ \vec{a} + μ \vec{b} = \vec{0} 是 \vec{a} / / \vec{b} 的充要条件$

题目1

$已知两个不共线向量 \vec{a} ， \vec{b} ，试作 \vec{O A} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{O B} = \vec{a} + 2 \vec{b},$
$\vec{O C} = \vec{a} + 3 \vec{b}, 猜想 A, B, C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想$

解析

$三点共线$
$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = 2 \vec{b}$
$∴ \vec{A C} = 2 \vec{A B}$
$∴ \vec{A B} / / \vec{A C}$
$又 ∵ \vec{A B}, \vec{A C} 有相同的起点$
$∴ A, B, C 三点共线$

图形解释

题目2

$已知 \vec{a}, \vec{b} 是两个不共线向量， \vec{b} - t \vec{a}, \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} 共线，求实数 t 的值$

解析

$因为 \vec{a}, \vec{b} 是两个不共线向量$
$所以 \vec{b} - t \vec{a} 为非零向量$
$由 \vec{b} - t \vec{a}, \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} 共线$
$可得，存在实数 λ \in R$
$\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} = λ (\vec{b} - t \vec{a})$
$整理得 (λ + \frac{3}{2}) \vec{b} = (λ t + \frac{1}{2}) \vec{a}$
$\vec{a}, \vec{b} 不共线$
$∴ {\begin{cases} λ + \frac{3}{2} = 0 \\ λ t + \frac{1}{2} = 0 \end{cases} . 得 t = \frac{1}{3}$

图形解释

题目3

$△ A B C 中, P 在线段 B C 上, B P = 2 P C, 且 \vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$
$求 λ, μ 的值$

解析

$由题可得 \vec{B P} = 2 \vec{P C}$
$所以 \vec{A P} - \vec{A B} = 2 (\vec{A C} - \vec{A P})$
$整理可得 \vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$
$∴ λ \vec{A B} + μ \vec{A C} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$
$整理可得 (λ - \frac{1}{3}) \vec{A B} = - (μ - \frac{2}{3}) \vec{A C}$
$∵ \vec{A B}, \vec{A C} 不共线$
$∴ {\begin{cases} λ - \frac{1}{3} = 0 \\ μ - \frac{2}{3} = 0 \end{cases} 得 {\begin{cases} λ = \frac{1}{3} \\ μ = \frac{2}{3} \end{cases}$

题目4

$△ A B C 中, P 在 B C 的延长线上, B P = 2 P C, 且 \vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$
$求 λ, μ 的值$

1、知识方面：
2、方法方面： ${\begin{cases} 思考问题的方式 \\ 解决问题的方法 \end{cases}$
3、存在疑惑：

思考：

$根据例 3 ，例 4 和前面的中线向量去寻找一个 λ, μ 规律关系$