4.向量的数乘运算

目标

1.类比实数的乘法理解数乘运算的几何意义
2.能熟练使用平行四边形法则和三角形法则进行向量的运算

数乘的定义

$1. \vec{a} + \vec{a} + \vec{a} 记作 3 \vec{a}$
$2. - \vec{a} - \vec{a} - \vec{a} 记作 - 3 \vec{a}$
$一个实数 λ 与一个向量 \vec{a} 的积 λ \vec{a} 定义为向量的数乘$

$(1) λ \vec{a} 的长度 | λ \vec{a} | = | λ | | \vec{a} |$
$(2) λ > 0 时， λ \vec{a} 与 \vec{a} 同向；$
$λ < 0 时， λ \vec{a} 与 \vec{a} 反向$
$λ = 0 时， λ \vec{a} = \vec{0}$

例如

$- \frac{1}{2} \vec{a} 表示与 \vec{a} 反向且长度为 | \vec{a} | 的一半的向量$

运算律

$λ, μ \in R 则$
$(1) λ (μ \vec{a}) = (λ μ) \vec{a}$
$(2) (λ + μ) \vec{a} = λ \vec{a} + μ \vec{a}$
$(3) λ (\vec{a} + \vec{b}) = λ \vec{a} + λ \vec{b}$

题目1

$计算$
$(1) - 3 \times (4 \vec{a})$
$(2) 3 (\vec{a} + \vec{b}) - 2 (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{a}$
$(3) (3 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}) - (3 \vec{a} - 2 \vec{b} + \vec{c})$

思考

$是不是和多项式运算很相似$

题目2

$如图， △ A B C 中， M 为 B C 的中点，求证 \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2}$

一种解答，其他自己思考

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} \dots ①$
$\vec{A M} = \vec{A C} + \vec{C M} \dots ②$
$∵ M 为 B C 的中点$
$∴ \vec{B M} = - \vec{C M}$
$① + ② 得 2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$
$∴ \vec{A M} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{2}$

题目3

$已知 G 为 △ A B C 的重心，求证 \vec{A G} = \frac{\vec{A B} + \vec{A C}}{3}$

重 心 为 三 角 形 三 条 中 线 的 交 点

$重心的性质 | \vec{A G} | = \frac{2}{3} \vec{A M}$

题目4

$已知 △ A B C ， G 为平面内一点，满足 \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$
$求证 : G 为 △ A B C 的重心$

$根据例 2 \vec{G B} + \vec{G C} = 2 \vec{G M}$
$∴ \vec{G A} + 2 \vec{G M} = \vec{0}$
$∴ \vec{A G} = 2 \vec{G M}$

题目5

$已知 △ A B C ， G 为平面内一点，满足 \vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$
$求证 : G 为 △ A B C 的重心$

$由已知可得 3 \vec{O G} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$
$\vec{O G} - \vec{O A} + \vec{O G} - \vec{O B} + \vec{O G} - \vec{O C} = \vec{0}$
$即 \vec{A G} + \vec{B G} + \vec{C G} = \vec{0}$
$即例 4$
$例 2 是关键$

1、知识方面：
2、方法方面： ${\begin{cases} 思考问题的方式 \\ 解决问题的方法 \end{cases}$
3、存在疑惑：

思考1

$已知四边形 A B C D ，根据下列条件分别判断四边形的性质$
$(1) \vec{A D} = \vec{B C}$
$(2) \vec{A D} = 2 \vec{B C}$
$(3) \vec{A B} = \vec{D C}, 且 | \vec{A D} | = | \vec{A B} |$

思考2

$已知四边形 A B C D ， M 、 N 为分别为 B C 、 A D 的中点，求证：$
$\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{N M}$