3.函数性质

#单调性 #奇偶性 #周期性 #对称性

$设 f (x) 为定义在区间 D 上的函数，区间 I \subseteq D$
$对 \forall x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} < x_{2}$
$都有 f (x_{1}) < f (x_{2}) (f (x_{1}) > f (x_{2})), 称 f (x) 为区间 I 上增 (减) 函数$

$f (x) 在区间 I 上具有严格单调性$

$\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0 (< 0)$
$[f (x_{2}) - f (x_{1})] (x_{2} - x_{1}) > 0 (< 0)$

奇偶性

$设 f (x) 为定义在区间 D 上的函数，对 \forall x \in D, 都有 f (- x) = f (x)$
$称 f (x) 为 D 上的偶函数$

$设 f (x) 为定义在区间 D 上的函数，对 \forall x \in D, 都有 f (- x) = - f (x)$
$称 f (x) 为 D 上的奇函数$
$对于奇函数，若 0 \in D ，则一定有 f (0) = 0$

对称性

$f (a + x) = f (b - x), 则 f (x) 关于 x = \frac{a + b}{2} 对称$
$f (a + x) + f (b - x) = 2 c, 则 f (x) 关于 (\frac{a + b}{2}, c) 对称$

周期性

$设 f (x) 时定义在 D 上的函数，对 \forall x \in D, 总存在常数 T$
$使得 f (x + T) = f (x)$
$称 f (x) 是周期为 T 的函数$
$若存在最小的正数 T 使得 f (x + T) = f (x), 则称 T 为 f (x) 的最小正周期$

周期性常见关系式

$f (x + a) = f (x + b), T = | a - b |$
$f (x + a) = \frac{1}{f (x)}, T = 2 | a |$
$f (x + a) = \frac{1 - f (x)}{1 + f (x)}, T = | 2 a |$
$f (x + 1) 为奇函数 f (x - 1) 为偶函数 T = 8$
$f (x + 1) 为奇函数 f (x - 1) 为奇函数 T = 4$
$f (x + 1) 为偶函数 f (x - 1) 为偶函数 T = 4$
$后三个以三角函数为例联想$

一个周期与奇偶联系的问题

$定义在 R 的上周期为 2 的奇函数 f (x) 在区间 [0, 4] 上最少有几个零点$

解析

$由奇函数定义 f (0) = 0$
$f (0) = f (2) = f (4)$

另外

$f (- 1) = f (- 1 + 2) = f (1)$
$f (- 1) = - f (1)$
$∴ f (1) = - f (1) = 0$
$f (3) = f (1) = 0$

结论：至少有5个零点

一个结论

$定义在 R 上的周期为 T 的奇函数，一定有 f (\frac{T}{2}) = 0$