2.基本不等式

我们知道一个事实$(a-b{)}^2\ge 0$
下面我们来看结合一些运算方法，它可以给我们带来的丰富变化
展开移项得$a^2+b^2\ge 2ab$
(1)用$\sqrt{a},\sqrt{b}$分别代换$a,b$可得$a+b\le 2\sqrt{ab}$
(2)两边同时加上$a^2+b^2\Rightarrow 2(a^2+b^2)\ge (a+b{)}^2$
(3)把$b$用${\displaystyle \frac{1}{b}}$代换可得$a^2+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}\ge 2{\displaystyle \frac{a}{b}}$

可以自己思考一种变化方法，创造属于自己得性质

我们把${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$称为基本不等式（均值不等式）
其中${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$叫算术平均数，$\sqrt{ab}$叫几何平均数
两个正数得算术平均数不小于它们得几何平均数

为了保证其准确性和应用性，我们需要保证$a>0,b>0$

如何证明$a>0,b>0,{\displaystyle \frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$

在此介绍一种证明方法叫分析法
证明：
要证明${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\ge \sqrt{ab}$
只需证明${\displaystyle \frac{a+b}{\ge }}2\sqrt{ab}$
即证明${\displaystyle \frac{a+b}{-}}2\sqrt{ab}\ge 0$
即证明$(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0\cdots (\ast )$
$(\ast )$式显然成立
所以原不等式成立。
注意每行开头得关键文字不能省略

证明：$a>0,b>0,{\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}\le \sqrt{ab}$

如图：$AB$为圆得直径，$AD=a,BD=b$

为什么$CD=\sqrt{ab}$
从图中你想到了什么？

(1)求周长为$l$的长方形的面积最大值
(2)求面积为$S$的长方形的周长的最小值

设长方形的长和宽分别为$a,b$
(1)$a+b={\displaystyle \frac{l}{2}},S=ab\le ({\displaystyle \frac{a+b}{2}}{)}^2={\displaystyle \frac{l^2}{16}}$
(2)$ab=S,l=2(a+b)\ge 4\sqrt{S}$
和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值

求下列表达式的最小值
(1)$x+{\displaystyle \frac{1}{x}},(x>0)$
(2)$2x+{\displaystyle \frac{1}{x-2}},(x>2)$
(3)$x+{\displaystyle \frac{1}{2x-2}},(x<1)$
(4)${\displaystyle \frac{x^2+1}{x+1}},(x>-1)$

1、知识方面：
2、方法方面：（1）思考问题的方式（2）解决问题的方法
3、存在疑惑：