1.不等式的性质

(1) $a < b \Leftrightarrow a - b < 0$
(2) $a < b, b < c,$ 则 $a < c$
(3) $a < b \Rightarrow a + c < b + c$
(4) $a < b, c < d \Rightarrow a + c < b + d$
(5) $a < b, c > 0 \Rightarrow a c < b c$
(6) $0 < a < b, 0 < c < d \Rightarrow a c < b d$
(7) $0 < a < b \Rightarrow a^{n} < b^{n}, n \in N^{*}$
(8) $0 < a < b \Rightarrow \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$

2.作差法

比较 $(x + 2) (x - 1)$ 和 $x (x + 1)$ 的大小

解答

$(x + 2) (x - 1) - x (x + 1) = - 2 < 0$
$∴ (x + 2) (x - 1) < x (x + 1)$
思考：
$1 \times 9, 2 \times 8, 3 \times 7, 4 \times 6, 5 \times 5$
发现了什么规律？
如何表达？

例题1

比较 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ 的大小

解答

直接作差不理想
平方作差也不够理想
作商如何
$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} > 1$

思考

$\sqrt{3} - 1, \sqrt{5} - \sqrt{3}, \sqrt{7} - \sqrt{5}, \sqrt{9} - \sqrt{7}, \dots$
发现了什么规律？
你能比较 $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ 和 $\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}$ 的大小吗？

例题2

已知 $a < b < c, a + b + c = 1,$ 证明： $a < \frac{1}{3}$

答案

$∵ a < b < c, ∴ a + a + a < a + b + c = 1, ∴ a < \frac{1}{3}$

例题3

已知 $1 < a < 2, 2 < b < 3$ ,分别求 $2 a - b, a b, \frac{a^{2}}{b^{3}}$ 的取值范围

解析

$2 < 2 a < 4, - 3 < - b < - 2 \Rightarrow - 1 < 2 a - b < 2$
$2 < a b < 6$
$1 < a^{2} < 4, \frac{1}{27} < \frac{1}{b^{3}} < \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{1}{27} < \frac{a^{2}}{b^{3}} < \frac{1}{2}$

例题4

已知 $- 1 < a + b < 1, 1 < a - b < 3,$ 求 $2 a - b$ 的取值范围

解析

换元法
设 $m = a + b, n = a - b$ 则 $a = \frac{m + n}{2}, b = \frac{m - n}{2} .2 a - b = \frac{1}{2} m + \frac{3}{2} n$
问题转化为
已知 $- 1 < m < 1, 1 < n < 3,$ 求 $\frac{1}{2} m + \frac{3}{2} n$ 的取值范围
$1 < \frac{1}{2} m + \frac{3}{2} n < 5$

总结与反思

1、知识方面：
2、方法方面：（1）思考问题的方式（2）解决问题的方法
3、存在疑惑：