2.两角和与差的正弦、余弦公式

1.从两角差的余弦出发，推导出正余弦两角和差的其它公式
2.熟悉各个公式左右互化

$\mathrm{从}\cos (\alpha -\beta )\mathrm{思}\mathrm{考}\mathrm{如}\mathrm{何}\mathrm{推}\mathrm{导}\mathrm{出}\cos (\alpha +\beta )$

对比两个公式，你觉得容易记错的地方在哪里？

$\sin (\alpha \pm \beta )\mathrm{又}\mathrm{该}\mathrm{如}\mathrm{何}\mathrm{推}\mathrm{导}\mathrm{呢}？$

如何快速准确的记住上述四个公式
有什么规律

$\mathrm{已}\mathrm{知}\sin \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}},\alpha \mathrm{为}\mathrm{第}\mathrm{四}\mathrm{象}\mathrm{限}\mathrm{的}\mathrm{角}，\mathrm{求}\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\alpha ),\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\alpha )$

认真研究下结果你有什么发现
你能想到几种计算方法？
和差公式1

$\mathrm{已}\mathrm{知}\cos (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})={\displaystyle \frac{3}{5}}(\alpha \mathrm{为}\mathrm{锐}\mathrm{角})，\mathrm{求}\sin \alpha$

$\mathrm{已}\mathrm{知}{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\beta <\alpha <{\displaystyle \frac{3\pi }{4}},\cos (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{12}{13}},\sin (\alpha +\beta )=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$
$\mathrm{求}\cos 2\alpha \mathrm{和}\cos 2\beta$

拓展与发现
$\mathrm{求}\mathrm{证}：\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$

$(1)\mathrm{已}\mathrm{知}\cos (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{1}{3}},\cos (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{3}{5}},\mathrm{求}\tan \alpha \tan \beta \mathrm{的}\mathrm{值}$
$(2)\mathrm{已}\mathrm{知}\sin (\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{1}{3}},\sin (\alpha +\beta )={\displaystyle \frac{3}{5}},\mathrm{又}\mathrm{能}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{什}\mathrm{么}\mathrm{呢}？$

$(1)\mathrm{已}\mathrm{知}\sin \alpha +\sin \beta =\sin \gamma ,\cos \alpha +\cos \beta =\cos \gamma ,\mathrm{求}\cos (\alpha -\beta )$
$(2)\mathrm{已}\mathrm{知}\sin \alpha +\sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{3}},\mathrm{求}\cos \alpha +\cos \beta \mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$

解析：
解析：
$\mathrm{设}\cos \alpha +\cos \beta =t$
$(\cos \alpha +\cos \beta {)}^2={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +2\cos \alpha \cos \beta =t^2$
$(\sin \alpha +\sin \beta {)}^2={\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +2\sin \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{9}}$
$\mathrm{两}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{加}\mathrm{可}\mathrm{得}2+2\cos (\alpha -\beta )=t^2+{\displaystyle \frac{1}{9}}$
$\because -1\le \cos (\alpha -\beta )\le 1$
$\therefore 0\le t^2+{\displaystyle \frac{1}{9}}\le 4$
$\mathrm{左}\mathrm{侧}\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{只}\mathrm{需}{t}^2+{\displaystyle \frac{1}{9}}\le 4$
$-{\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{3}}\le t\le {\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{3}}$

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{△}ABC\mathrm{中}，\sin A={\displaystyle \frac{3}{5}},\cos B={\displaystyle \frac{5}{13}},\mathrm{求}\cos C$

认真思考题目的结果是一个还是两个？

$\mathrm{在}\mathrm{△}ABC\mathrm{中}，\sin A>\sin B\mathrm{是}A>B\mathrm{的}\mathrm{充}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{吗}？$