3.三角函数的单调性和最值

#单调性 #值域 #最值

🎯目标

1.熟悉正余弦函数的单调区间
2.掌握在给定区间上三角函数的最值问题

任务一

Note

利用五点作图法作出 $y = \sin x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}] 的图像$
根据图像你能写出正弦函数的单调区间吗？
$y = \sin x, x \in R 的单调区间怎么表示？$

Tip

为什么先选择 $y = \sin x, x \in [- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 作为研究对象开始，而不是 $y = \sin x, x \in [0, 2 π]$ ，有什么好处？

任务二

Note

对比写出 $y = \cos x 的单调区间$

任务三

Important

思考单调区间和对称轴是不是有必然联系？
写下你的认识

任务四

题目1

求下列函数的单调区间
$(1) y = \sin (x - \frac{π}{3})$
$(2) y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$
$(3) y = \sin (\frac{π}{3} - x)$
$(4) y = \sin (x - \frac{π}{3}), x \in [- π, \frac{7 π}{6}]$

Tip

注意对比得出准确的求单调区间的方法

解答

$(1) 增区间为 [2 k π - \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{5 π}{6}], k \in Z; 减区间为 [2 k π + \frac{5 π}{6}, 2 k π + \frac{11 π}{6}], k \in Z$
$(2) 增区间为 [k π - \frac{π}{12}, k π + \frac{5 π}{12}], k \in Z; 减区间为 [k π + \frac{5 π}{12}, k π + \frac{11 π}{12}], k \in Z$
$(3) 减区间为 [2 k π - \frac{π}{6}, 2 k π + \frac{5 π}{6}], k \in Z; 增区间为 [2 k π + \frac{5 π}{6}, 2 k π + \frac{11 π}{6}], k \in Z$
$(4) 增区间为 [- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}], k \in Z; 减区间为 [- π, - \frac{π}{6}], [\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}], k \in Z$

题目2

$比较大小$
$(1) \sin (- \frac{π}{18}) 与) \sin (- \frac{π}{10})$
$(2) \cos (- \frac{23 π}{5}) 与 \cos (- \frac{23 π}{5})$
$(3) \sin 2 与 \sin 3$
$(4) \sin 3 与 \cos 1$

任务五

求值域最值

题目3

求函数的值域
$(1) y = \sin x, x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$
$(2) y = \sin (2 x - \frac{π}{3}), x \in [0, \frac{π}{2}]$

任务六
🎨反思本节课的收获
1、知识方面：__________
2、方法方面： ${\begin{cases} 思考问题的方式 \\ 解决问题的方法 \end{cases}$

3、存在疑惑：

时间充裕可以继续

题目4

$(1) y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}), x \in [- \frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}], 求值域$
$(2) y = \sin (ω x) 在区间 [- \frac{π}{3}, \frac{π}{2}] 上递增，求 ω 的取值范围$
$(3) y = \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0) 在区间 (\frac{π}{2}, π) 递增，求 ω 的取值范围$

（1）答案

$令 X = \frac{1}{2} x - \frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{7 π}{12}]$
$考虑 y = \sin X, X \in [- \frac{π}{2}, \frac{7 π}{12}]$

$值域为 [- 1, 1]$

（2）答案

$由 y = \sin ω x 的对称性可知 y = \sin ω x 在 [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] 递增，$
$则 T \geq 2 π \Rightarrow \frac{2 π}{ω} \geq 2 π$
$0 < ω \leq 1$
$思考为什么 ω 一定大于 0$

（3）答案

$∵ x \in (\frac{π}{2}, π), ω > 0$
$∴ ω x - \frac{π}{4} \in (\frac{ω π}{2} - \frac{π}{4}, ω π - \frac{π}{4})$
根据正弦函数的单调区间则有
${\begin{cases} \frac{ω π}{2} - \frac{π}{4} \geq - \frac{π}{2} + 2 k π \\ ω π - \frac{π}{4} \leq \frac{π}{2} + 2 k π \end{cases} k \in Z$
$解得 - \frac{1}{2} + 4 k \leq ω \leq \frac{3}{4} + 2 k$
$只有 k = 0 才能成立$
$∴ 0 < ω \leq \frac{3}{4}$