诱导公式（2）

🎯目标

$1. 研究清楚 \frac{π}{2} \pm α 与 α 的关系$
$2. 记住六组诱导公式的特征和使用场景$

任务一

Note

$\frac{π}{2} - α 与 α 的终边有什么特殊关系$
用平面几何知识如何进行证明？

$下图是 α 为锐角时的情况，明确 P 点和 Q 点的坐标关系，对于 α 为任意角都成立吗 /$
Pasted image 20251221092317.png|400
$明确 \sin (\frac{π}{2} - α), \cos (\frac{π}{2} - α), \sin α, \cos α 的关系$

任务二

Note

思考 $\frac{π}{2} + α 与 α 的终边有什么对称关系$
如何证明
研究点P和点Q的坐标关系
$下图是 α 为锐角的情况，对于 α 为任意角是否都成立$
Pasted image 20251221092212.png|400

$明确 \sin (\frac{π}{2} + α), \cos (\frac{π}{2} + α), \sin α, \cos α 的关系$

任务三

Important

统一诱导公式2~6的记法

记忆公式口诀

口诀：奇变偶不变，符号看象限
$\sin (\frac{k π}{2} \pm α) = \sin α ? ? ?$
$\sin (\frac{k π}{2} \pm α) = \cos α ? ? ?$
$\sin (\frac{k π}{2} \pm α) = - \sin α ? ? ?$
$\sin (\frac{k π}{2} \pm α) = - \cos α ? ? ?$
$1. 当 k 为奇数时，函数名改变，正弦变余弦，当 k 为偶数时，函数名前后一致$
$2. 符号看象限，是记公式时的方式，把 α 看作锐角，判断$
$\frac{k π}{2} + α 所在的象限，根据 \sin (\frac{k π}{2} + α) 的符号来确定右侧的符号$
$? ? ? 处其思考$

任务四

题目1

$求证 : (1) \sin (\frac{3 π}{2} - α) = - \cos α$
$(2) \cos (\frac{3 π}{2} + α) = \sin α$
你能想到几种方法？
你能想到最简单的方法是什么？

题目2

$化简 \frac{\sin (2 π - α) \cos (π + α) \cos (\frac{π}{2} + α) \cos (\frac{11 π}{2} - α)}{\cos (π - α) \sin (3 π - α) \sin (- π - α) \sin (\frac{9 π}{2} + α)}$

答案

$原式 = \frac{(- \sin α) (- \cos α) (- \sin α) (- \sin α)}{(- \cos α) \sin α \sin α \cos α} = - \tan α$

Example

$已知 \sin (53^{\circ} - α) = \frac{1}{5}, 且 - 270^{\circ} < α < - 90^{\circ}, 求 \sin (37^{\circ} + α)$

任务五

三角形中的诱导公式使用

$△ A B C 中$
$\sin (A + B) = \sin C$
$\cos (A + B) = - \cos C$
$\sin \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}$
$\cos \frac{A + B}{2} = \sin \frac{C}{2}$

任务六
🎨反思本节课的收获
1、知识方面：__________
2、方法方面： ${\begin{cases} 思考问题的方式 \\ 解决问题的方法 \end{cases}$

3、存在疑惑：__________

💖三角函数知识结构图

参考💖诱导公式