诱导公式（1）

🎯目标如何快速计算 $\sin \frac{2 π}{3}, \sin \frac{4 π}{3}, \sin \frac{5 π}{3}$

📚任务一：思考： $\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3} 这三个角与 \frac{π}{3} 的关系$ 在坐标系中看角的中边的关系，用定义考虑其三角函数值的关系

Important

思考一般情况： $π - α, π + α, - α, 与 α 角的终边的关系$

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α 与 π - α 的 终 边 关 系

$α 与 π - α 角的终边关于 y 轴对称，$
$所以与单位圆的交点纵坐标相同，横坐标互为相反数。$

α 与 π + α 的 终 边 关 系

$α 与 π + α 角的终边关于原点对称，$
$所以与单位圆的交点纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数。$

α 与 - α 的 终 边 关 系

$α 与 - α 角的终边关于 x 轴对称，$
$所以与单位圆的交点横坐标相同，纵坐标互为相反数。$

📚任务二：推导出一般规律公式
$依据三角函数的定义，并研究 π + α, - α 与 α 的关系，推导出常用诱导公式$

诱导公式

$\sin (π - α) = \sin α, \cos (π - α) = - \cos α$
$\sin (π + α) = - \sin α, \cos (π + α) = - \cos α$
$\sin (- α) = - \sin α, \cos (- α) = \cos α$

记忆口诀

$公式记忆口诀：函数名不变，符号看象限$
这句话的解释为，把 $α$ 看作是锐角，然后看 $π - α, π + α, - α$ 所在的象限
$例如： \sin (π - α) = \sin α ， α 看作锐角， π - α$
$在第二象限，正弦为正， ∴ \sin (π - α) = + \sin α$

📚任务三：

Example

计算 $\sin \frac{2 π}{3}, \sin \frac{4 π}{3}, \sin \frac{5 π}{3}$

Example

题目1求下列的值
$(1) \sin (- \frac{10 π}{3}), (2) \cos (\frac{29 π}{6}), (3) \tan (- 855^{\circ})$

📊 反思
如何解答更快更准确，先用哪个公式更合理？

📚任务四：拔高一下

Example

题目2 $已知 \sin (π + α) = - \frac{1}{3}, α 在第二象限，求 \cos (5 π + α)$

解答

$∵ \sin (π + α) = - \sin α, α 在第二象限$
$∴ \sin α = \frac{1}{3}, \cos α = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\cos (5 π + α) = \cos (π + α) = - \cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Example

题目3 $已知 \sin (\frac{π}{3} + α) = - \frac{1}{2}, 求 \sin (α - \frac{5 π}{3})$

提示

$\sin (α - \frac{5 π}{3}) = \sin [(\frac{π}{3} + α) - 2 π] = \sin (\frac{π}{3} + α)$

Example

题目4 $已知 \cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{\sqrt{3}}{3}, 求 \cos (\frac{5 π}{6} - α) 的值$

题目三和题目四，如何更好利用诱导公式解决呢？你从中学到了什么？

📅任务五
🎨反思本节课的收获
1、知识方面：__________
2、方法方面： ${\begin{cases} 思考问题的方式 \\ 解决问题的方法 \end{cases}$

3、存在疑惑：__________

💖三角函数知识结构图