同角三角基本关系2

🕐回顾同角三角基本关系式

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1,\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

$\mathrm{证}\mathrm{明}：{\displaystyle \frac{1-\sin x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}$
两种证明方法值得研究
同时，本例题就是${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$的一个变式
$\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{同}\mathrm{角}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{关}\mathrm{系}\mathrm{式}\mathrm{你}\mathrm{能}\mathrm{否}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{更}\mathrm{多}\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}\mathrm{式}$

几个延伸

$\tan \alpha +{\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}={\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}+{\displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}$
$={\displaystyle \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }}$

${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}={\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}={\tan }^2\alpha +1$

类比上式推导另一个

${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2\alpha }}={\displaystyle \frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }}={\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2\alpha }}+1$

典型问题
$1.\mathrm{化}\mathrm{简}\sqrt{{\displaystyle \frac{1+\sin x}{1-\sin x}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\sin x}{1+\sin x}}},x\mathrm{为}\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{象}\mathrm{限}\mathrm{的}\mathrm{角}$

$2.\mathrm{证}\mathrm{明}：{\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ={\tan }^2\alpha {\sin }^2\alpha$

$3.\mathrm{证}\mathrm{明}：{\displaystyle \frac{1-2\sin \theta \cos \theta }{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }}={\displaystyle \frac{1-\tan \theta }{1+\tan \theta }}$

💖同角三角基本关系式

💖三角函数知识结构图