💖对数函数

1.$y=a^x\Rightarrow x={\log }_{a}y$(用函数的定义说明对$\mathrm{\forall }y$都$\mathrm{\exists }\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{的}x$与之对应)这里可以顺便说明单调函数，x、y的值是一一对应的
交换x/y的位置可得到对数函数
2.反函数的概念及反解法

题目1 已知$y={\displaystyle \frac{a^x-1}{a^x+1}}$求函数的值域
对数函数题目1

题目2 $y={\log }_a{\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}$的定义域是______________

题目3 $y={\log }_a(1-x)+lo{g}_a(1+x)$的定义域为_________

题目4 $y={\log }_a(x^2-1)\mathrm{与}y={\log }_a(x-1)+lo{g}_a(x+1)$是否为同一函数？

题目5 $y={\log }_2(a{x}^2-ax+2)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{为}R，\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$
对数函数题目5

题目6 $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-x+2)$的值域为________

题目7 $y={\log }_2(a{x}^2-2x+1)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}R，\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$
对数函数题目7

题目8$\mathrm{求}\mathrm{函}\mathrm{数}y={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-2x-3)\mathrm{的}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{区}\mathrm{间}$

题目9$\mathrm{已}\mathrm{知}f(x)=\ln (-x^2+4x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}（a,a+1）\mathrm{上}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{增}，\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$
对数函数题目8

题目10$(1)\mathrm{判}\mathrm{断}\mathrm{函}\mathrm{数}y=\lg {\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{偶}\mathrm{性}$
$(2)\mathrm{判}\mathrm{断}\mathrm{函}\mathrm{数}y=lg(\sqrt{x^2+1}-x)\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{偶}\mathrm{性}$
对数函数题目10

题目11已知函数$f(x)=|\lg x|-t$有两个不同的零点$a、b\mathrm{且}a<b,\mathrm{求}a+2b\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$
对数函数题目11

题目12
$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\{\begin{array}{l}{2}^{-|x|+1},x\le 1\\ |{\log }_2(x-1),x>1|,\mathrm{若}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)-a\mathrm{有}\mathrm{零}\mathrm{点}，\end{array}$
$\mathrm{记}\mathrm{为}{x}_1,x_2,x_3,...,x_n,\mathrm{且}{x}_1<x_2<x_3<...<x_n,\mathrm{写}\mathrm{列}\mathrm{结}\mathrm{论}\mathrm{正}\mathrm{确}\mathrm{的}\mathrm{是}（）$

• $a\ge 0$
• $\mathrm{任}\mathrm{一}\mathrm{直}\mathrm{线}y=kx+b(k\ne 0)\mathrm{都}\mathrm{与}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{有}\mathrm{交}\mathrm{点}$
• $\mathrm{当}n=4\mathrm{时}，x_3{x}_4\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}\mathrm{是}[{\displaystyle \frac{9}{2}},{\displaystyle \frac{25}{4}})$
• $\mathrm{当}n=4\mathrm{时}，x_1+x_2+x_3+x_4\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}\mathrm{是}[{\displaystyle \frac{9}{2}},{\displaystyle \frac{25}{4}})$
  对数函数题目12

对比题目11和题目12，发现很重要

再来一例
$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=|\lg (x-1)|,\mathrm{若}f(a)=f(b)(a<b),M=\frac{a}{a-1}+\frac{2}{b-1},\mathrm{求}M\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{值}$
对数函数再来